Transformasi Translasi dan Refleksi | Matematika Kelas 11

Transformasi

Transformasi dalam matematika memiliki arti sebagai suatu fungsi yang memetakan kedudukan setiap titik dari poisi awal menjadi posisi baru. Transformasi dalam matematika terdiri dari 4 jenis, yaitu:

1. Translasi (pergeseran)
2. Refleksi (pencerminan)
3. Rotasi (perputaran), dan 
4. Dilatasi (perkalian) serta komposisinya dengan pendekatan koordinat. 

Penjelasan lengkapnya di bawah ini.

1. Translasi (pergeseran)

Konsep Pergeseran (Translasi)

Coba amati benda yang bergerak di sekitar kita. Benda tersebut berubah posisi tanpa mengubah bentuk & ukurannya. Contohnya misalkan, mobil atau motor yang melaju bergerak di jalan, pesawat terbang terbang melintas di udara, atau bisa juga kita sendiri yang bergerak kemana-mana. 

Dari konsep itulah kita akan coba memsaukan pergerakan objek-objek tersebut melalui pendekatan koordinat. 

Kita misalkan bahwa pergerakan ke kanan adalah pergerakan ke arah sumbu x positif, pergerakan ke kiri adalah pergerakan ke arah sumbu x negatif, pergerakan ke atas adalah pergerakan ke arah sumbu y positif, dan pergerakan ke bawah adalah pergerakan ke arah sumbu y negatif.

Contoh 1

Titik koordinat A(4,–3) bergerak ke arah kiri sebanyak 6 langkah dan bergerak ke bawah sebanyak 1 langkah, kemudian lalu dilanjutkan kembali bergerak ke arah kiri sebanyak 3 langkah dan ke arah atas sebanyak 3 langkah. Sketsalah arah pergerakan titik tersebut ke dalam bidang koordinat kartesius?

Penyelesaian:

Bila Contoh 1 disajikan dalam bentuk koordinat kartesius maka akan diperoleh seperti pada gambar di bawah ini. 

Keterangan:

Pergeseran 1. 

Posisi titik koordinat awal adalah A (4,–3), lalu bergerak ke arah kiri sebanyak 6 langkah dan ke arah bawah sebanyak 1 langkah, menyebabkan posisi berubah pada koordinat C (–2,–4). Jadi berarti :

Pergeseran 2. 

Posisi titik koordinat sementara adalah C (‒2,‒4), mengalami arah pergeseran yaitu bergeser ke arah kiri sebanyak 3 langkah dan ke arah atas sebanyak 3 langkah, pada gambar tampak di posisi koordinat E(‒5,‒1). Jadi berarti:

Sehingga, posisi akhirnya titik koordinat  A (4,‒3) adalah di titik koordinat E (‒5,‒1).

Contoh 2

Coba amati bidang segitiga siku-siku ABC di bawah ini yang digeser! 

Coba tentukan arah dan juga besar pergeserannya?

Penyelesaian:

Terlihat pada gambar di atas arah pergeseran titik koordinat A, B, dan juga C ke arah posisi titik A′, B′ & C′. Secara analisa, titik-titik pada segitiga siku-siku tersebut akan ikut bergeser juga, bukan? Coba kita tentukan arahnya dan juga besarnya arah pergeseran segitiga siku-siku tersebut.

Posisi awal titik koordinatnya adalah A (‒9, ‒4), titik B(‒8, ‒2) dan titik C(‒3, ‒5), kemudian masing-masing bergeser ke arah kanan sebanyak 11 langkah dan ke arah atas sebanyak 6 langkah, sehingga posisi akhir titik dikoordinat A′(2, 2), B′(3, 4) dan C′(8, 1) bisa dilihat pada gambar di atas. Dapat dituliskan seperti ini:

Berdasar pengamatan pergeseran objek di sekitar kita dan juga pergeseran objek di bidang koordinat kartesius (Contoh 1 dan Contoh 2), sehingga dapat disimpulkan bahwa sifat translasi sebagai berikut:

Bangun yang digeser (translasi) tidak akan mengalami perubahan bentuk & ukuran.

Kita akan coba menemukan konsep translasi & kaitan dengan konsep matriks. Kita amati arah pergeseran titik-titik pada Contoh 1 dan Contoh 2 pada gambar berikut:

Translasi titik koordinat A

Coba perhatikan arah pergeseran titik tersebut! Tentukan titik koordinat pada masing-masing titik kemudian tuliskan pada tabel di bawah. Coba lengkapi !

Berdasarkan data pada tabel, secara umum diperoleh konsep Translasi:

Ayo Kita gunakan konsep translasi di atas untuk menentukan hasil translasi titik koordinat dan fungsi y = f(x) pada beberapa contoh di di bawah ini.

Contoh 3

Titik koordinat A(2, 3) ditranslasikan dengan matriks T(–3, 4), tentukan bayangan titik A!

Penyelesaian:

Maka, bayangannya A'(–1, 7)

Contoh 4

Garis k dengan persamaan 2x – 3y + 4 = 0 ditranslasikan dengan matriks T(–1, –3). Tentukan bayangan garis k!

Penyelesaian:

Misalkan titik koordinat A(x, y) memenuhi persamaan k, sehingga:

Dengan mensubstitusi koordinta x dan y ke garis k, ditemukan persamaan setelah ditranslasi,

2(x +1)–3( y+3) +4 = 0 atau 2x – 3y – 3 = 0

Latihan Soal

Titik koordinat P(a, b+2) digeser dengan translasi T(3, 2b–a), hasil pergeseran titiknya menjadi Q(3a + b,-3). Tentukan posisi pergeseran titik koordinat R(2, 4) oleh translasi T.

Penyelesaian:

Langkah 1:

3a + b = 3 + a (persamaan 1) 

–3 = 2b – a + 2 (persamaan 2)

                    

Langkah 2:

Mensubstitusi a = ... ke dalam persamaan (2) maka nilai b = . . .

Maka, translasinya adalah T(3,2b–a) = T(..., ...).

Langkah 3:

Pergeseran titik koordinat R(2,4) oleh translasi T :

Maka pergeseran titik R adalah R'(..., ...).

2. Refleksi (Pencerminan)

Konsep Pencerminan (Refleksi)

Kita coba amati contoh pencerminan pada objek di dalam kehidupan kita sehari-hari. Contoh yang paling sederhana adalah ketika bercermin. Kamu akan melihat bayangan dirimu di cermin, atau melihat bayangan diri di permukaan air, bayangan diri di kaca, dan lain sebagainya. 

Ternyata jarak antara dirimu ke cermin akan sama dengan jarak bayanganmu ke cermin. Sekarang, kita coba pelajari konsep refleks atau pencerminan dengan pendekatan titik koordinat. 

Kita akan amati refleksi atau pencerminan objek bidang koordinat, kita asumsikan bahwa titik koordinat O(0,0) dan garis (sumbu x, sumbu y, y = x, y = –x) sebagai sebuah cermin.

Contoh 1

Perhatikan gambar di bawah! Coba amati objek yang dicerminkan sumbu y pada koordinat kartesius. Fokus pada jarak dari objek ke cermin dan jarak dari bayangan ke cermin.

Refleksi objek sumbu y

Sifat pencerminan.

Bangun yang dicerminkan atau refleksi dengan cermin datar tidak akan mengalami perubahan bentuk & ukurannya. Jarak bangun objek dengan cermin adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin.

Itulah artikel tentang Transformasi Translasi dan Refleksi. Semoga bermanfaat.

Berbagi :